[2015년 가좌고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 기하와 벡터]

점 [eqn: (0,```1,```-3)]을 지나고 평면 [eqn: x+y+z=7]에 평행한 평면이 점 [eqn: (1,```k,```2)]를 지난다. 이때 실수 [eqn: k]의 값은? [3.9점]

②

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =8] 위의 점 중 [eqn: y]좌표가 [eqn: 2]인 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여 벡터 [eqn: rm vecOS = { vecOP} over { |vecOP |}]의 종점 [eqn: rmS]가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4.5점]

①

① [eqn: sqrt { 2} pi]	② [eqn: sqrt { 3} pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: sqrt { 5} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmO-ABC]에서 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: rmvecOE cdot vecOF]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 14over9]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 22over9]

④ [eqn: 26over9]	⑤ [eqn: 10over3]

세 점 [eqn: rmA(1,```0,```0)], [eqn: rmB(0,```-1,```0)], [eqn: rmC(0,```0,```2)]를 지나는 평면에 수직이고 원점을 지나는 직선이 [eqn: { x} over { a}= { y} over {b }= { z} over { c}] (단, [eqn: a+b+c=-1])일 때, [eqn: abc]의 값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

좌표공간에서 두 구
[eqn: x^2 +y^2 +z^2 =9],
[eqn: (x+2)^2 +(y-1)^2 +(z+1)^2 =16]
이 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을 [eqn: alpha]라고 하자. 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: x+y+2z+10=0]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: { sqrt { 2} } over { 4}]	③ [eqn: 1over sqrt { 6}]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: { sqrt { 2} } over {2 }]

포물선 [eqn: x^2 =24y] 위의 점 [eqn: (12,```6)]에서의 접선의 기울기는? [3.6점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

점 [eqn: {rmP}(a,```0)]에서 포물선 [eqn: y^2 =-4x]에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 90DEG]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 5over3]	⑤ [eqn: 2]

타원 [eqn: 4x^2 +y^2 =8] 위의 점 [eqn: (1,```-2)]에서의 접선의 기울기는? [3.6점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수 [eqn: x= sqrt { 2} `costheta], [eqn: y=2 sintheta] (단,
[eqn: 0<theta< { pi} over { 2}])에 대하여 이 곡선 위의 점 [eqn: (1,``` sqrt { 2 })]에서의 접선의 기울기는? [3.7점]

①

① [eqn: -sqrt { 2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

점 [eqn: (0,```2)]에서 타원 [eqn: { x^2} over { 8}+ { y^2} over { 2}=1]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 타원의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 할 때, 사다리꼴 [eqn: rmPFF'Q]의 넓이는? [4.5점]

⑤

① [eqn: 1+ sqrt { 3}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2+ sqrt { 3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2+ sqrt { 6}]

쌍곡선 [eqn: { x^2} over {8 }- { y^2} over { 12}=-1] 위의 점 [eqn: (4,```6)]에서의 접선의 기울기는? [3.7점]

②

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

곡선 [eqn: x^2 -y^2 =-5] 위의 점 [eqn: rmP(-2,```-3)]에서의 접선과 곡선 [eqn: x^2 -y^2 =-5]의 두 점근선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.0점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x=f(t)]가
[eqn: f(t)=sint-cost]일 때, [eqn: t= { pi} over {2 }]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도는? [3.8점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x_{rmP}], [eqn: x_{rmQ}]는 각각
[eqn: x_{rmP}=4t^2 -24t], [eqn: x_{rmQ}=ln(t^2 -2t+2)]
이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t]의 범위가 [eqn: a<t<b]일 때, 실수 [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 5over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9over2]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x=cost], [eqn: y=t-2sint]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속력의 최솟값은? [4.6점]

③

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: sqrt { 6} over3]

④ [eqn: 2sqrt { 2 }}over3]	⑤ [eqn: 1]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: vecv =(1,```2)]일 때, 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=1]에서 시각 [eqn: t=3]까지 움직인 거리는? [3.8점]

⑤

① [eqn: 2sqrt { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: x=t-sint], [eqn: y=1-cost]로 표현되는 곡선에서 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2pi]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4.7점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

서술형

그림과 같이 평면 [eqn: alpha]의 방정식이 [eqn: x-2y-2z=-2]이고 평면 [eqn: beta]가 [eqn: xy]평면일 때, 다음 물음에 답하시오. [8.0점]

(1) [eqn: rmH(0,```-1,```2)], [eqn: rmbarAH =3]

(2) [eqn: { 32} over {3 }pi]

(1) 점 [eqn: rmA(1,```-3,```0)]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고

할 때, 점 [eqn: rmH]의 좌표와 [eqn: rmbarAH]를 구하고, 풀이과정을

서술하시오. [3.0점]

(2) 평면 [eqn: alpha] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmbarPA le 5]을 만족시킬 때, 점 [eqn: rmP]가

나타내는 도형의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이를 구하고,

풀이 과정을 서술하시오. [5.0점]

좌표평면에서 점 [eqn: rmA(0,```4)]와 타원 [eqn: { x^2} over {12 }+ { y^2} over { 4}=1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 원 [eqn: x^2 +(y-3)^2 =1]과 만나는 두 점 중에서 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 길이를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: pi]

그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 [eqn: rmO], 길이가 [eqn: 4]인 시침의 끝점을 [eqn: rmP], 길이가 [eqn: 6]인 분침의 끝점을 [eqn: rmQ]라 하고 [eqn: 9]시 [eqn: t]분([eqn: t>50])에 분침과 시침이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면
[eqn: theta= { pi} over {30 }t- { 3pi} over { 2}- { pi} over { 360}t]이다. 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 10]시 정각이 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(분)에 대한 순간변화율을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. (단, 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 일직선 위에 있는 경우는 [eqn: S=0]으로 한다.) [7.0점]

[eqn: { 11} over 60{ }pi]

어느 골프 선수가 친 공이 그림과 같이 지면과 [eqn: theta]의 각을 이루며 초속 [eqn: a rmm]로 출발하여 날아갔다. 좌표평면 위에서 공이 [eqn: t=0]일 때 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 임의의 시각 [eqn: t]초에서의 위치를 [eqn: {rmP}(x,```y)]라고 하면, [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: (a costheta,```a sintheta-10t)]라고 한다. 공이 지면에 떨어진 지점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: rmOQ]가 최대가 되는 [eqn: theta]를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. (단, 공기저항과 골프공의 크기는 무시한다.) [7.0점]

[eqn: { pi} over {4 }]

[2015년 가좌고]

[2학년(이과) 2학기 기말 기하와 벡터]

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